7.矩阵的逆-定义和定理

7.1 逆矩阵的定义

对于n阶矩阵A，存在一个n阶矩阵B，使：

\[AB=BA=E \]

则称矩阵A是可逆的。
且B是A的逆矩阵，简称“逆阵”，记为：

\[B=A^{-1} \]

7.2 对逆矩阵的理解

若存在矩阵\(A_{n×n}\)、\(X_{n×1}\)、\(Y_{n×1}\)，使：

\[Y=AX \]

现需求矩阵A，设存在矩阵\(X^{-1}_{n×1}\)，使：

\[XX^{-1}=E \]

则:

\[X^{-1}\cdot Y=X^{-1}\cdot XA \\\Rightarrow X^{-1}\cdot Y=E\cdot A \\\Rightarrow A=X^ {-1}\cdot Y \]

7.3 逆矩阵相关定理

7.3.1 定理1：若矩阵A可逆，则：\(|A|\neq0\)

定理1的证明：

\[由A可逆，得：\\ A.A^{-1}=E\\ {\Rightarrow}|A|.|A^{-1}|=|E|=1\\ {\Rightarrow}|A|\neq0 \]

7.3.2 定理2：若\(|A|\neq0\)，则矩阵A可逆，且\(A^{-1}={A^*\over|A|}\)

• 注：\(A^*\)为矩阵A的伴随阵

定理2的证明：

\[设： A= \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} … &a_{1n}\\ a_{21} &a_{22} &a_{23} … &a_{2n} \\ …\\ a_{n1} &a_{n2} &a_{13} … &a_{nn}\\ \end{bmatrix}\\ \]

\[A^*= \begin{bmatrix} A_{11} &A_{21} &A_{31} … &A_{n1}\\ A_{12} &A_{22} &A_{32} … &A_{n2} \\ …\\ A_{1n} &A_{2n} &A_{3n} … &A_{nn}\\ \end{bmatrix}\\ \]

• 注：\(A^*\)中包含|A|中每个元所对应的代数余子式，且为方便\(A\times A^*\)的矩阵相乘计算，\(A^*\)进行过转置，具体参考以下证明过程。

\[设： A\times A^*= \begin{bmatrix} C_{11} &C_{12} &C_{13} … &C_{1n}\\ C_{21} &C_{22} &C_{23} … &C_{2n} \\ …\\ C_{n1} &C_{n2} &C_{n3} … &C_{nn}\\ \end{bmatrix} \]

\[根据代数余子式相关定理可得:\\ \begin{cases} C_{11}=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}+…+a_{1n}A_{1n}=|A|\\ C_{22}=a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+a_{23}A_{23}+…+a_{2n}A_{2n}=|A|\\ C_{33}=a_{31}A_{31}+a_{32}A_{32}+a_{33}A_{33}+…+a_{3n}A_{3n}=|A|\\ …\\ C_{nn}=a_{n1}A_{n1}+a_{n2}A_{n2}+a_{n3}A_{n3}+…+a_{nn}A_{nn}=|A|\\ \end{cases}\\ \]

\[又根据代数余子式【异乘变零】定理可得：其余任意i\neq j的C_{ij}均为0 \]

\[则有： A\times A^*= \begin{bmatrix} |A| & 0 &…… &0 &0\\ 0 &|A| & …… &0 &0 \\ 0 &0 &|A| &… &0\\ 0&0&…….&……&0\\ 0&0&…….&|A|&0\\ 0 &0 &0 &…… &|A|\\ \end{bmatrix} =|A|\times E \]

\[由A\times A^*=|A|\times E可得：\\ \]

\[\tag{1} A\times {A^*\over |A|}=E \Rightarrow A^{-1}={A^* \over |A|}\quad(|A|\neq 0) \]