11.三种初等矩阵及其性质

11.1 三种初等矩阵

设存在列向量A：

\[A= \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ a_4\\ …\\ a_i\\ …\\ a_j\\ …\\ a_n \end{bmatrix} \]

则以下\(X_1,X_2,X_3\)三种矩阵分别与A相乘后，可对A进行三种初等变换：

11.1.1 矩阵\(X_1\)：对应\(a_i \leftrightarrow a_j\)

设存在如下n阶矩阵\(X_1\)，使相应单位矩阵的第i行和第j行产生变化：

\[\tag{1} X_1=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0&0&…&0&0&0\\ 0 & 1 & 0 & 0&0&…&0&0&0\\ 0 & 0 & 1 & 0&0&…&0&0&0\\ 0 & 0 & 0 & 1&0&…&0&0&0\\ &…&…&…&…&…&…\\ 0 & 0 & 0 & …&x_{ii}=0&…x_{ij}=1&0&…&0\\ &…&…&…&…&…&…\\ 0&0&0&…&x_{ji}=1&…x_{jj}=0&0&…&0\\ &…&…&…&…&…&…\\ 0 & 0 & 0 & 0&0&…&0&0&1 \end{bmatrix} \]

以上矩阵\(X_1\)将相应单位矩阵的元素\(x_{ii},x_{jj}\)变为0，\(x_{ij},x_{ji}\)变为1

则通过\(X_1 \cdot A\)可对A进行初等变换\(a_i \leftrightarrow a_j\)：

\[X_1 \cdot A= \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ a_4\\ …\\ a_j\\ …\\ a_i\\ …\\ a_n \end{bmatrix} \]

故形如\(X_1\)的矩阵可对应初等变换：\(a_i \leftrightarrow a_j\)

11.1.2 矩阵\(X_2\)：对应\(\lambda \cdot A\)

设存在如下n阶矩阵\(X_2\)，使相应单位矩阵的第\(i\)行产生变化：

\[\tag{2} X_2= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & …&0&0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & …&0&0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & …&0&0\\ …&&…&&…\\ 0 & 0 & 0 & 0 & x_{ii}=\lambda&0…&0\\ …&&…&&…\\ 0 & 0 & 0 & 0 & …&0&1 \end{bmatrix} \]

矩阵\(X_2\)中，将相应单位矩阵的元素\(x_{ii}\)的值由1变为\(\lambda\)

则通过\(X_2 \cdot A\)可对A进行初等变换\(\lambda \cdot A\)：

\[X_2 \cdot A= \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ a_4\\ …\\ \lambda \cdot a_i\\ …\\ a_j\\ …\\ a_n \end{bmatrix} \]

故形如\(X_2\)的矩阵可对应初等变换：\(\lambda \cdot A\)

11.1.3矩阵\(X_3\)：对应\(a_i+k \cdot a_j\)

设存在如下n阶矩阵\(X_3\)，使相应单位矩阵的第\(i\)行产生变化：

\[\tag{3} X_3= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0&0&…&0&0&0\\ 0 & 1 & 0 & 0&0&…&0&0&0\\ 0 & 0 & 1 & 0&0&…&0&0&0\\ 0 & 0 & 0 & 1&0&…&0&0&0\\ &…&…&…&…&…&…\\ 0 & 0 & 0 & …&1&0…x_{ij}=\lambda&0&…&0\\ &…&…&…&…&…&…\\ 0 & 0 & 0 & 0&0&…&0&0&1 \end{bmatrix} \]

矩阵\(X_3\)中，将相应单位矩阵的元素\(x_{ij}\)的值由0变为\(\lambda\)，而元素\(x_{ii}\)的值保持1不变，使矩阵相乘时第i行共产生2个元素相加

则通过\(X_3 \cdot A\)可对A进行初等变换\(a_i+\lambda \cdot a_j\)

\[X_3 \cdot A= \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ a_4\\ …\\ a_i+\lambda \cdot a_j\\ …\\ a_j\\ …\\ a_n \end{bmatrix} \]

故形如\(X_3\)的矩阵可对应初等变换：\(a_i+k \cdot a_j\)

11.2 三种初等矩阵的性质

设存在矩阵\(A_{mn}\)，以及初等矩阵\(X\)

则跟据11.1的内容可知，初等矩阵X对矩阵A进行的初等变换具有以下性质：

性质1：矩阵相乘时，X作行则行变换，X作列则列变换：

\[\tag{4} X_{mm} \cdot A_{mn} \Leftrightarrow A的相应行变换 \]

\[A_{mn} \cdot X_{nn} \Leftrightarrow A的相应列变换 \]

性质2：初等矩阵的逆阵也是初等矩阵

可通过：$$X\cdot X^{-1}=E$$ 对11.1中的\(X_1,X_2,X_3\)进行证明（证明过程略）

性质3：方阵可逆的性质（方阵拆解为有限个初等矩阵相乘）

设存在方阵\(A’_{nn}\)，以及有限个初等矩阵\(P_1,P_2,P_3,…,P_n\)

则：

\[\tag{5} A’_{nn}可逆 \Leftrightarrow A’=P_1\cdot P_2\cdot P_3\cdot …\cdot P_n \]

性质3的证明：

\[由A’=P_1\cdot P_2\cdot P_3\cdot …\cdot P_n \]

\[\Rightarrow A’\cdot P^{-1}_1\cdot P^{-1}_2\cdot P^{-1}_3\cdot …\cdot P^{-1}_n = E \]

由性质2及10.2矩阵标准形的特性：

\[\Rightarrow P^{-1}_1\cdot P^{-1}_2\cdot P^{-1}_3\cdot …\cdot A’\cdot …\cdot P^{-1}_n = F \]

由矩阵的逆的性质：

\[\Rightarrow A’ = P_1\cdot P_2\cdot P_3\cdot …\cdot P_n \cdot F \]

由A是方阵：

\[\Rightarrow |A’| = |P_1\cdot P_2\cdot P_3\cdot …\cdot P_n| \cdot |F| \]

由A’可逆
\( \Rightarrow |A’| \neq 0 \Rightarrow |F|\neq0 \)

则根据行列式按行展开的性质：

\(F无全为0的行\Rightarrow F=E\)：

\[\Rightarrow |A’| = |P_1\cdot P_2\cdot P_3\cdot …\cdot P_n| （同理可反推A’可逆） \]

则：

\[A’_{nn}可逆 \Leftrightarrow A’=P_1\cdot P_2\cdot P_3\cdot …\cdot P_n \]

性质3推论：方阵变换为单位矩阵

由性质3的式（5）：

\[\Rightarrow P^{-1}_1\cdot P^{-1}_2\cdot P^{-1}_3\cdot …\cdot P^{-1}_n \cdot A’= E \]

则：

\[方阵A’可逆 \Leftrightarrow A’_{nn}与E行等价 \]

\[\tag{6} 即可逆的方阵A’经过有限次行变换后可变换为单位矩阵E \]

\[反之单位矩阵E经过有限次行变换后可变换为方阵A’的逆 \]

11.3 初等矩阵性质的应用

设存在以下矩阵：

\[A= \begin{bmatrix} 0 & -2 & 1\\ 3 & 0 & -2\\ -2 & 3 & 0 \end{bmatrix} \]

现需求\(A^{-1}\)的值，证明\(A\)可逆。

根据初等矩阵的性质，可求解如下：

设存在3阶可逆方阵\(P=P_1\cdot P_2\cdot P_3\cdot …\cdot P_n\)

则有：\(P \cdot A=E,\quad P \cdot E=A^{-1}\)

故\(A, E\)可同时进行行变换，可设矩阵(A,E)如下：

\[(A,E)= \begin{bmatrix} 0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0\\ -2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

则经过有限次行变换后可得以下结果（变换过程略）：

\[(A,E)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 6 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 4 &2 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6 \end{bmatrix} \]

故\(A\)可逆，且：

\[A^{-1}= \begin{bmatrix} 6 & 3 & 4\\ 4 & 2 & 3\\ 9 & 4 & 6 \end{bmatrix} \]