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一、向量
这次我们继续聊一下向量。
向量可以理解为一个有方向的量。
它既有大小（长度），又有方向（指向哪里）。
生活中很多东西都可以用向量描述，比如：
- 速度（你开车 60 km/h 向东）
- ️ 风（风速 5 m/s 向北）
- 力（用 10 牛顿的力推箱子向右）
坐标表示
在数学里，我们通常用坐标来表示向量；而在几何空间中，常常用箭头来表示向量，箭头的长度表示大小（模），方向表示向量的方向。
- 在二维空间中，一个向量表示如下：
\[\vec{v} = (x, y) \]
其中 x 表示水平方向分量，y 表示竖直方向分量。
向量的模长为：\(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\)
- 在三维空间中，一个向量表示如下：
\[\vec{v} = (x, y, z) \]
其中 x, y, z 分别是沿三个坐标轴的分量。
向量的模长为：\(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)
- 在N维空间中，一个向量表示如下：
\[\vec{v} = (x_1, x_2.. x_n) \]
其中 x1…xn 分别是各个维度的分量。
向量的模长为：\(|\vec{v}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2} \\\)
二、加减法
向量加法
设定：
\[\vec{a} = (x_1, y_1), \quad \vec{b} = (x_2, y_2) \]
那么有：
\[\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, \; y_1 + y_2) \]
加法的几何意义，可以使用三角形法则或平行四边形法则来说明：
简单的可以理解为，\(\vec{a}+\vec{b}\) 就是从坐标原点沿着\(\vec{a}\)行进后，再沿着\(\vec{b}\)行进。
应用示例
假定有两股方向的力，如下：
\(\vec{F_1} = (3, 4), \quad \vec{F_2} = (1, 2)\)
那么这两股力的合力为：
\(\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} = (3+1, 4+2) = (4, 6)\)
向量减法
设定：
\[\vec{a} = (x_1, y_1), \quad \vec{b} = (x_2, y_2) \]
那么有：
\[\vec{a} – \vec{b} = (x_1 – x_2, \; y_1 – y_2) \]
加法的几何意义，可以使用三角形法则或平行四边形法则来说明：
简单的可以理解为，\(\vec{a}-\vec{b}\) 就是从b的终点开始，朝着\(\vec{a}\)的终点行进的向量。
应用示例
在船的航行过程中，可以利用向量的减法来获得船和水流的相对速度。
假定船的速度向量为：
\(\vec{v}_{船} = (8, 0) \quad (\text{向东 8 m/s})\)
水流速度向量为：
\(\vec{v}_{水} = (3, 1) \quad (\text{向东 3 m/s，向北 1 m/s})\)
那么船相对水流的速度向量为：
\(\vec{v}_{相对} = (8-3, 0-1) = (5, -1)\)
表示向东 5 m/s、向南 1 m/s。
三、向量内积
向量的内积又称为点积（Dot Product），内积是两个向量对应分量相乘后求和的一个标量值。
设定：
\[\vec{a} = (x_1, y_1), \quad \vec{b} = (x_2, y_2) \]
那么有：
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 \]
从几何意义上讲，向量的内积还可以表示如下：
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta \]
具体的证明可以参考下图，将坐标系进行旋转后，可完成推理：
其中 θ 表示两个向量的夹角，根据余弦定理可以得出：
- 假定模长不变，夹角越小，内积则越大
- 当夹角为90度时（两个向量垂直），此时内积为0
- 内积的本质等同于向量的投影和模长的乘积
- 坐标旋转时，内积保持不变
应用示例
我们在电商平台上浏览产品详情时，经常会看到”相似产品”这样的页签，其中会给我们推荐相关的产品。
这种商品推荐的场景便可以基于“余弦相似度”来实现，余弦相似度的核心是仅考虑向量的方向一致，忽略模长的影响。具体实现如下：
-
将商品信息特征化表述，包括：
- 类目
- 品牌
- 价格区间
- 颜色 / 尺寸 / 材质
- 商品标题/描述
- 图片特征
-
特征向量归一化
上述的商品特征可以基于Embedding、CNN等算法来提取为特征值。
这些特征值拼接后形成一个统一的商品向量，如下：
\[\vec{g} = [x_{类目}, x_{品牌},x_{价格},x_{尺寸},x_{颜色},x_{图谱特征}..] \]
由于不同维度的特征值其模长无法统一，我们需要将其进行归一化（L2归一）：
对于其中的 \(x_k\)，其归一后的值为：
\[X_k = \frac{x_k}{\sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}} \]
L2归一化使用欧几里得范数来计算，最终得到特征向量为：
\[\vec{G} = [X_{类目}, X_{品牌},X_{价格},X_{尺寸},X_{颜色},X_{图谱特征}..] \]
归一化后，∥G∥=1，余弦相似度就简化成两个单位向量的点积，只比较方向（特征分布模式），消除了特征值大小的影响。
-
计算商品特征向量的相似度，获得最相似的N个商品
通过计算向量的点积来比较相似度：$ simulaty = \vec{G} \cdot \vec{G2}$
向量点积在机器学习中常用于评估特征的方向相似性
四、向量外积
向量的外积又称为叉积（Cross Product），两个向量的外积是一个同时垂直于两者的向量。
设定：
\[\vec{a} = (x_1, y_1), \quad \vec{b} = (x_2, y_2) \]
那么有：
\[\vec{a} × \vec{b} = \vec{c} \]
-
向量 \(\vec{c}\)的模长：$\vec{c} = ∣\vec{a}∣∣\vec{b}∣sinθ $，在几何意义上等同与两个向量为边的平行四边形的面积。
-
向量 \(\vec{c}\)的方向：垂直于两个向量构成的平面。
如下图所示：
向量 \(\vec{c}\)的方向除了垂直之外，还需要遵循右手螺旋定则，也就是对于 \(\vec{a} × \vec{b} = \vec{c}\) 来说，右手四指方向从 a 转向 b，大拇指所指方向就是 c 的方向。所以， \(\vec{a} × \vec{b}\) 和 \(\vec{b} × \vec{a}\) 的结果是相反的，即向量外积不满足交换律。
从几何图形上看，向量的外积可以垂直于两个向量组成的平面，当向量平行（共线）时，向量的外积为0。
需要注意的是，向量的外积仅适用于三维图形，在四维及更高维空间中，垂直于两个向量的方向不唯一，而是一个高维子空间，因此无法用一个单一向量来表示。
应用示例
物理学上，我们通过力矩（Torque）来描述一种”让物体转起来的能力”。
比如：
你用扳手拧螺丝，用力的大小、角度和离螺丝中心的距离都会影响拧动的效果。
同样的力，扳手越长（离中心越远），越容易拧动——因为力矩更大。
力矩的公式如下：
\[\vec{𝜏}=\vec{𝑟}×\vec{𝐹} \]
-
r 是从旋转中心到施力点的位置向量
-
𝐹：施加的作用力
力矩是向量 r 和向量 F的外积向量：
-
力矩的方向：由右手定则决定，表示旋转轴的方向
-
力矩的大小：等于 \(|\vec{r}| \cdot |\vec{F}| \cdot \sin\theta\)，也就是力度、垂直距离、和角度三者叠加的结果。
五、小试牛刀
下面使用 numpy 来实现本文提到的向量加减法、向量内积和外积计算。
代码示例
import numpy as np
# 定义两个三维向量
a = np.array([3, 4, 0])
b = np.array([4, 0, 3])
# 1️⃣ 向量加法
add = a + b
print("加法 a + b =", add)
# 2️⃣ 向量减法
sub = a - b
print("减法 a - b =", sub)
# 3️⃣ 向量内积（点积）
dot = np.dot(a, b)
print("内积 a · b =", dot)
# 4️⃣ 特征归一化（L2归一）
a_norm = a / np.linalg.norm(a)
b_norm = b / np.linalg.norm(b)
print("归一化后的 a =", a_norm)
print("归一化后的 b =", b_norm)
# 5️⃣ 归一后的余弦相似度
cos_sim = np.dot(a_norm, b_norm)
print("归一后的余弦相似度 =", cos_sim)
# 6️⃣ 向量外积（叉积）
cross = np.cross(a, b)
print("外积 a × b =", cross)
执行上述程序，输出结果如下：
加法 a + b = [7 4 3]
减法 a - b = [-1 4 -3]
内积 a · b = 12
归一化后的 a = [0.6 0.8 0. ]
归一化后的 b = [0.8 0. 0.6]
归一后的余弦相似度 = 0.48
外积 a × b = [ 12 -9 -16]
六、小结
向量的概念早在中学数学、物理学中就已经能接触到了，理解向量和空间几何的结合非常重要。从最简单的加减法就能体会到基本相对量的价值；向量内积更是各种推荐算法、特征相似度计算的基础范式，向量外积在机械工程学中大行其道等等，这些无一证明了向量在现实的数学应用中的重要地位。
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