13.向量的线性相关性&内积&范数&正交

13.1 向量组的线性相关性

13.1.1 定义

对于任意向量组\(A:a_1,a_2,a_3,…,a_n\)，存在不全为0的数\(k_i(i=1,2,3,…,m)\)，使：

\[\tag{1} \sum_{i=1}^mk_i\cdot a_i=0 \]

则称向量组A是\(线性相关\)的，否则称A是\(线性无关\)的

13.1.2 线性相关示例

• 示例1：

设存在不全为0的数\(k_1,k_2\)，且存在以下列向量组：

\[a_1= \begin {bmatrix} 0\\ 1 \end {bmatrix}， a_2= \begin {bmatrix} 1\\ 0 \end {bmatrix} \]

根据线性相关的定义，可得：

\[k_1\cdot a_1 +k_2\cdot a_2=k_2+k_1\neq0 \]

\[\Rightarrow 向量组a_1,a_2是线性无关的 \]

• 示例2：

设存在不全为0的数\(k_1,k_2\)，且存在以下列向量组：

\[a_1= \begin {bmatrix} 1\\ 2 \end {bmatrix}， a_2= \begin {bmatrix} 2\\ 4 \end {bmatrix} \]

设\(k_1\cdot a_1+k_2\cdot a_2=0\)，则有：

\[k_1\cdot a_1+k_2\cdot a_2=k_1\cdot \begin {bmatrix} 1\\ 2 \end {bmatrix} + k_2 \cdot \begin {bmatrix} 2\\ 4 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 0\\ 0 \end {bmatrix} \]

\[\Leftrightarrow \begin {cases} k_1+2k_2=0\\ 2k_1+4k_2=0 \end {cases} \]

\[\Rightarrow 方程存在非0解，如：k_1=2，k_2=-1 \]

\[\Rightarrow 本示例中向量组a_1,a_2为线性相关 \]

13.2 向量组与矩阵的秩

13.2.1 定理

设存在向量组\(：a_1,a_2,a_3,…,a_m\)，且其构成的矩阵为：

\[A= \begin {bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ …\\ a_m \end {bmatrix} \]

则有：

\[\tag{2} 向量组线性相关 \Leftrightarrow R(A)<m \]

\[\tag{3} 向量组线性无关 \Leftrightarrow R(A)=m \]

13.2.2 示例：n维单位坐标向量组的线性相关性

设存在n维单位坐标向量组：\(e_1,e_2,e_3,…,e_n\)

则n维单位坐标向量组构成单位矩阵E，由：

\[|E|=1 \Rightarrow |E|\neq0 \Rightarrow R(E)=n \]

\[\Leftrightarrow n维单位坐标向量组是线性无关的 \]

13.3 向量的内积

13.3.1 内积的定义

设存在以下n维向量：

\[X= \begin {bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ …\\ x_n \end {bmatrix}， Y= \begin {bmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3\\ …\\ y_n \end {bmatrix} \]

则有：

\[\tag{4} [x,y]=X^T \cdot Y =\sum_{i=1}^nx_i\cdot y_i \]

称\([x,y]为\)向量\(x\)与向量\(y\)的内积。

13.3.2 内积相关性质

向量的内积具有以下性质：

\[\begin {array}{c} (1)&[x,y]=[y,x]\\\\ (2)&[\lambda x,y]=\lambda \cdot [x,y]\\\\ (3)&[x+y,z]=[x,z]+[y,z]\\\\ (4)& \begin {cases} [x,x]=0, x=0 \\ [x,x]>0, x\neq0 \\ \end {cases}\\\\ (5)&柯西不等式：[x,y]^2 \leq [x,x]\cdot[y,y] \end {array} \]

13.4 向量的范数

13.4.1 范数的定义

设存在n维向量\(x\)，令：

\[\tag{5} ||x||=\sqrt{[x,x]}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+…+x_n^2} \]

则称\(||x||\)为向量\(x的范数（或长度）\)

13.4.2 范数的性质

向量的范数具有以下性质：

\[\begin {array}{c} (1)非负性： & \begin {cases}||x||=0，x=O \\ ||x||>0，x\neq O\end {cases}\\\\ (2)齐次性：&||\lambda \cdot x||=|\lambda| \cdot ||x||\\\\ (3)三角不等式：& ||x+y|| \leq ||x||+||y|| \end {array} \]

13.4.3 单位向量的定义

设存在n维向量\(x\)，则有：

\[\tag{6} ||x||=1 \Leftrightarrow x是单位向量 \]

13.5 向量的正交

13.5.1 向量正交的定义

设存在n维向量\(x,y\)

若：

\[\tag {7} [x,y]=0 \]

则称x与y正交。

• 推论：\(x=O \Rightarrow x与任何向量正交\)

13.5.2 正交与线性相关性的定理

• 定理：

设存在n维非零向量：\(A=(a_1,a_2,a_3,…,a_n)\)，且存在A中的任意元素\(a_i，a_j（a_i\neq a_j）\)，则有：

\[\tag{8} ([a_i,a_j]=0)\bigwedge (a_i\neq a_j\neq0) \Rightarrow A是线性无关的 \]

• 定理证明：

\[设存在不全为0的数k_1,k_2,k_3,…,k_n，则有： \]

\[A线性无关 \Leftrightarrow \sum_{i=1}^n k_i\cdot a_i \neq 0 \]

\[则求证命题转化为：([a_i,a_j]=0)\bigwedge (a_i\neq a_j\neq0)\Rightarrow \sum_{i=1}^n k_i\cdot a_i \neq 0 \]

\[由等式性质得：\sum_{i=1}^n k_i\cdot a_i \neq 0 \Leftrightarrow \sum_{i=1}^n k_i\cdot a_i \cdot a_1^T \neq 0 \]

\[由[a_i,a_j]=0 \Rightarrow k_1\cdot a_1\cdot a_1^T \neq 0 \Rightarrow k_1\cdot [a_1^2] \Rightarrow k_1 \neq 0 \]

\[同理可得k_2,k_3,…,k_n均不为0，则有: \]

\[([a_i,a_j]=0)\bigwedge (a_i\neq a_j\neq0) \Rightarrow \sum_{i=1}^n k_i\cdot a_i \neq 0 \Rightarrow A线性无关 \]

13.6 规范正交基

13.6.1 规范正交基的定义

设n维向量\(E=(e_1,e_2,…,e_n)\)是向量空间\(V\)（$V \subset R^n $）中的一个基，若E中向量均是单位向量，且两两正交，则称E是V的一个规范正交基。

13.6.2 规范正交基示例

设存在以下向量E=(e_1,e_2,e_3,e_4)，其中元素均为单位向量，且两两正交：

\[e_1= \begin {bmatrix} \frac 1 {\sqrt 2}\\ \frac 1 {\sqrt 2}\\ 0\\ 0 \end {bmatrix}， e_2= \begin {bmatrix} \frac 1 {\sqrt 2}\\ -\frac 1 {\sqrt 2}\\ 0\\ 0 \end {bmatrix}， e_3= \begin {bmatrix} 0\\ 0\\ \frac 1 {\sqrt 2}\\ \frac 1 {\sqrt 2} \end {bmatrix}， e_4= \begin {bmatrix} 0\\ 0\\ \frac 1 {\sqrt 2}\\ -\frac 1 {\sqrt 2} \end {bmatrix} \]

则称E=(e_1,e_2,e_3,e_4)是\(R^4\)的一个规范正交基

13.6.3 规范正交基相关性质

若\(E=(e_1,e_2,…,e_n)\)是向量空间\(V\)（$V \subset R^n \(）中的一个规范正交基，则\)V$中任一元素均能由E进行线性表示。

如\(a\)是\(V\)中一元素，则\(a\)可表示为：

\[\tag{9} a=k_1\cdot e_1 + k_2\cdot e_2 + … +k_n\cdot e_n \]

• 推论：系数$k_i $的求法

\[由等式及规范正交基相关性质得： \]

\[a\cdot e_1^T=k_1\cdot e_1 \cdot e_1^T=k_1 \]

\[\tag{10} 同理可得：k_i=a\cdot e_i^T（i=1,2,3,…,n） \]