12.矩阵的秩及相关性质

12.1 k阶子式

12.1.1 k阶子式示例

设存在以下矩阵：

\[X_{mn}= \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} & … & x_{1n}\\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & … & x_{2n}\\ x_{31} & x_{32} & x_{33} & … & x_{3n}\\ &&……\\ x_{m1} & x_{m2} & x_{m3} & … & x_{mn}\\ \end{bmatrix} \]

在矩阵中任选k行。如k=3，则有：

\[X_{mn}= \begin{bmatrix} \begin{array}{c} \mathbf{x_{11}} & \mathbf{x_{12}} & x_{13} & … & \mathbf{x_{1n}}\\ \hline \mathbf{x_{21}} & \mathbf{x_{22}} & x_{23} & … & \mathbf{x_{2n}}\\ \mathbf{x_{31}} & \mathbf{x_{32}} & x_{33} & … & \mathbf{x_{3n}}\\ \hline &&……\\ \mathbf{x_{m1}} & \mathbf{x_{m2}} & x_{m3} & … & \mathbf{x_{mn}}\\ \hline \end{array} \end{bmatrix} \]

以上分别选中第1行、第3行、第m行；第1列、第2列、第n列，则所选行列交叉处元素形成的行列式为：

\[\begin{vmatrix} {x_{11}} & {x_{12}}& {x_{1n}}\\ {x_{31}} & {x_{32}}& {x_{3n}}\\ {x_{m1}} & {x_{m2}}& {x_{mn}}\\ \end{vmatrix} \]

称以上行列式为矩阵X的3阶子式

12.1.2 k阶子式的定义

在\(m\times n\)的矩阵中，任取k行和k列（行列数均为k），则所选行列交叉处的\(k^2\)个元素所形成的行列式成为原矩阵的k阶子式，且k阶子式共有\(C_m^k \cdot C_n^k个\)

12.2 矩阵的秩

12.2.1 矩阵的秩的定义

若矩阵X中存在一个不为0的r阶子式D，且矩阵X的所有r+1阶子式均为0

则称数r为矩阵X的秩，记为R(X)；D为矩阵X的最高阶非零子式。

12.2.2 矩阵的秩相关性质

• \(|X|=|X^T| \Rightarrow R(X)=R(X^T)\)

• \(n\)阶方阵\(A\)的\(n\)阶子式为\(|A|\)，且：\(\begin{cases}R(A)=n，|A| \neq0（A可逆）\\R(A)<n，|A|=0（A不可逆） \end{cases}\)

12.3 矩阵求秩的方法

12.3.1 常规矩阵求秩

求以下矩阵A的秩R(A)：

\[A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 5\\ 4 & 7 & 1 \end{bmatrix} \]

由计算可知，\(|A|=0\)，故\(R(A)<3\)

A的2阶子式中，取较简单的进行计算：

\[\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 2 & 3 \end{vmatrix}=-1\neq0 \]

由此，可知R(A)=2。

12.3.2 行阶梯形矩阵求秩

求以下行阶梯形矩阵B的秩R(B)：

\[B= \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 & 3 & 2\\ 0 & 3 & 1 & -2 & 5\\ 0 & 0 & 0 & 4 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

由\(B\)的第4行为全0行\(\;\Rightarrow |B|=0 \;\Rightarrow R(B)<4\)

故取\(B\)前3行中较简单的3阶子式（上三角行列式）进行计算：

\[\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3\\ 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix}=2\times3\times4=24\neq0 \]

由此，可知R(B)=3

12.3.3 矩阵求秩方法总结

由常规求秩方法和行阶梯矩阵求秩方法的对比可知：

• 常规求秩方法受限于复杂行列式的计算

• 而行阶梯矩阵求秩方法通过灵活运用行列式相关性质，简化了行列式计算过程，从而使矩阵求秩过程更为直观（秩=非0行个数）

12.4 线性方程组与矩阵求秩

12.4.1 线性方程组与矩阵求秩示例

设某线性方程组\(Ax=b\)对应以下矩阵：

\[A= \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 & -1\\ 2 & -4 & 8 & 0\\ -2 & 4 & -2 & 3\\ 3 & -6 & 0 & -6\\ \end{bmatrix} \]

\[b= \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4 \end{bmatrix} \]

\[\Rightarrow (A,b) = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 & -1 & 1\\ 2 & -4 & 8 & 0 & 2\\ -2 & 4 & -2 & 3 & 3\\ 3 & -6 & 0 & -6 & 4\\ \end{bmatrix} \]

对矩阵(A,b)进行线性变换（过程略）可得：

\[(A,b) = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \]

由以上结果矩阵可得方程组：

\[\begin{cases} x_1-2x_2+2x_3-x_4=1\;①\\ 2x_3+x_4=0\;②\\ 0=1\;③ \end{cases} \]

由方程组中③式可得：方程组无解
又由行阶梯矩阵相关性质可得：\(R(A)=2, \;R(A,b)=3\)

故：原方程组无解，且原方程组对应的矩阵中：\(R(A)<R(A,b)\)

12.4.2 线性方程组与矩阵求秩相关定理

设存在以下线性方程组（m个方程，n个元）：

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+…+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+…+a_{2n}x_n=b_2\\ …\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+…+a_{mn}x_n=b_m\\ \end{cases} \]

则方程可转化为以向量\(x\)为未知元的向量方程：

\[\tag{1} Ax=b \]

向量方程\(Ax=b\)满足以下定理：

• \(R(A) < R(A,b) \Leftrightarrow 方程Ax=b无解\)
• \(R(A) = R(A,b)=n \Leftrightarrow 方程Ax=b有唯一解\)
• \(R(A) = R(A,b)<n \Leftrightarrow 方程Ax=b有无限多解\)

若向量方程为齐次方程（\(Ax=0\)），则满足以下定理：

• \(R(A)<n \Leftrightarrow 齐次方程Ax=0有非零解\)

12.5 矩阵的秩相关性质总结

设存在矩阵\(A_{mn}, \;B_{mn},\; X_{nk}\)，并存在可逆矩阵\(P_{mm}，Q_{nn}\)，零矩阵\({\displaystyle O}\)，则：

• 秩的取值范围：\(0 \leq R(A) \leq min\){\(m,n\)}（注：零矩阵的秩为0）
• 转置矩阵求秩： \(R(A^T)=R(A)\)
• 等价矩阵求秩：\(A等价于B \Rightarrow R(A)=R(B)\)
• 初等变换求秩：\((P、Q可逆)\Rightarrow R(P\times A\times Q)=R(A)\)
• 拼接矩阵的秩范围：\(max\left \{ R(A),R(B) \right \} \leq R(A,B) \leq R(A)+R(B)\)
• 列向量拼接矩阵的秩范围：\(R(b)=1 \Rightarrow R(A) \leq R(A,b) \leq R(A)+1\)
• 矩阵相加的秩范围：\(R(A+B)\leq R(A)+R(B)\)
• 矩阵相乘的秩范围：\(R(A\cdot X) \leq min \left \{ R(A),R(X) \right \}\)
• 矩阵相乘为零矩阵：\(A\cdot X={\displaystyle O} \Rightarrow R(A)+R(X)<n\)