2.矩阵的迹&转置&对称矩阵

2.1 矩阵的迹

定义：

• \(n \times n\)矩阵主对角线上元素的总和称为\(矩阵的迹\)
• 矩阵X的迹记为\(tr(X)\)

示例：

设存在以下\(n \times n\)的矩阵：

\[X_{n \times n}= \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} & … & x_{1n}\\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & … & x_{2n}\\ x_{31} & x_{32} & x_{33} & … & x_{3n}\\ &&……\\ x_{n1} & x_{n2} & x_{n3} & … & x_{nn}\\ \end{bmatrix}\\ \]

则：

\[tr(X)=x_{11}+x_{22}+x_{33}+…+x_{nn}=\sum_{i=0}^n x_{ii} \]

矩阵的迹运算律

\[\tag {1}tr(A\cdot B)=tr(B\cdot A) \]

证明：

\[设A\cdot B=C，B\cdot A=D，则有：\\ tr(A\cdot B)=tr(C)=\sum_{i=1}^nc_{ii}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}b_{ji}\\ tr(B\cdot A)=tr(D)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nb_{ij}a_{ji}=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^na_{ji}b_{ij}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}b_{ji}\\ \]

\[\Rightarrow tr(A\cdot B)=tr(B\cdot A) \]

2.2 矩阵的转置

定义：

• 把一个矩阵的行换成同序数的列，得到一个新的矩阵。
• 矩阵\(X\)的转置记为\(X^T\)

性质：

• 若X为\(m \times n\)的矩阵，则\(X^T\)为\(n \times m\)的矩阵
• 设\(x\)为矩阵\(X\)中的元素，\(x^T\)为矩阵\(X^T\)中的元素，则\(x^T_{ij}=x_{ji}\)

示例：

设存在以下\(m \times n\)的矩阵：

\[X_{m \times n}= \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} & … & x_{1n}\\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & … & x_{2n}\\ x_{31} & x_{32} & x_{33} & … & x_{3n}\\ &&……\\ x_{m1} & x_{m2} & x_{m3} & … & x_{mn}\\ \end{bmatrix}\\ \]

则：

\[X^T_{n \times m}= \begin{bmatrix} x_{11} & x_{21} & x_{31} & … & x_{m1}\\ x_{12} & x_{22} & x_{32} & … & x_{m2}\\ x_{13} & x_{23} & x_{33} & … & x_{m3}\\ &&……\\ x_{1n} & x_{2n} & x_{3n} & … & x_{mn}\\ \end{bmatrix}\\ \]

矩阵的转置运算律

\[\tag {1}(A^T)^T=A \]

\[\tag {2}(A+B)^T=A^T+B^T \]

\[\tag {3}(\lambda\cdot A)^T=\lambda\cdot A^T \]

\[\tag {4}(A\cdot B)^T=B^T\cdot A^T \]

对运算律(4)进行证明：

\[设存在矩阵A_{m\times t}，矩阵B_{t\times n}，且A_{m\times t}\cdot B_{t\times n}=C_{n\times n}，则：\\ c_{ij}=\sum_{k=1}^ta_{ik}\cdot b_{kj}\\ \]

\[由矩阵转置的相关性质可知：\\c^T_{ij}=c_{ji}=\sum_{k=1}^ta_{jk}\cdot b_{ki}\\ \]

\[设B^T_{n \times s}\cdot A^T_{s \times n} =D_{n\times n}，则：\\ d_{ij}=\sum_{k=1}^tb^T_{ik}\cdot a^T_{kj}=\sum_{k=1}^tb_{ki}\cdot a_{jk}=\sum_{k=1}^ta_{jk}\cdot b_{ki}=c^T_{ij} \]

\[\Rightarrow (A\cdot B)^T=B^T \cdot A^T \]